Question

【題目】某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓的圓心與矩形對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點(diǎn))，與左右兩邊相交(， 為其中兩個(gè)交點(diǎn))，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，且．設(shè)，透光區(qū)域的面積為．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；

（2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊的長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: 根據(jù)題意表示出所需的線段長度，再分別求三角形和扇形面積，從而表示出總面積，再根據(jù)題意要求求出函數(shù)的定義域；根據(jù)題意表示出“透光比”函數(shù)，借助求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性求出最大值.

試題解析:（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

所以，

．

所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以定義域?yàn)?/span>．

（2）矩形窗面的面積為．

則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為．…10分

設(shè)， ．

則

，

因?yàn)?/span>，所以，所以，故，

所以函數(shù)在上單調(diào)減．

所以當(dāng)時(shí)， 有最大值，此時(shí) (m)．

答：（1）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)?/span>；

（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)， 的長度為1m．