Question

16．已知直線l：x-my+$\sqrt{3}$m=0上存在點M滿足與兩點A（-1，0），B（1，0）連線的斜率k_MA與k_MB之積為3，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\sqrt{6}，\sqrt{6}}]$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}）$∪$（{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$
• C． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$∪$[{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 設(shè)出M的坐標，由k_MA與k_MB之積為3得到M坐標的方程，和已知直線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式大于等于0求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（x，y），由k_MA•k_MB=3，得$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=3$，即y²=3x²-3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-my+\sqrt{3}m=0}\\{{y}^{2}=3{x}^{2}-3}\end{array}\right.$，得$（\frac{1}{{m}^{2}}-3）{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{m}x+6=0$．
要使直線l：x-my+$\sqrt{3}$m=0上存在點M滿足與兩點A（-1，0），B（1，0）連線的斜率k_MA與k_MB之積為3，
則△=$（\frac{2\sqrt{3}}{m}）^{2}-24（\frac{1}{{m}^{2}}-3）≥0$，即${m}^{2}≥\frac{1}{6}$．
解得m∈$（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$∪$[{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$（{-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}}]$∪$[{\frac{{\sqrt{6}}}{6}，+∞}）$．
故選：C．

點評 本題考查直線的斜率，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用判別式法判斷方程的根，是中檔題．