Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1，0≤x＜1 2f(x-1)，x≥1

，方程f（x）=

1

2

的解從小到大組成數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）求a₁、a₂；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)，0≤x＜1時(shí)，由f（x）=

1

2

求a₁、1≤x＜2時(shí)，由f（x）=

1

2

求a₂；
（Ⅱ）設(shè)n-1≤x＜n，則0≤x-（n-1）＜1，求出f（x），結(jié)合x=log₂（2ⁿ+1）-1∈（n-1，n），即方程f（x）=

1

2

在x∈[n-1，n）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（Ⅰ）0≤x＜1時(shí)，由f（x）=

1

2

得2x-1=

1

2

，∴x=log2

3

2

，
即a₁=log2

3

2

．
1≤x＜2時(shí)，0≤x-1＜1，f（x）=2f（x-1）=2^x-2，
由f（x）=

1

2

得2^x-2=

1

2

，∴x=log2

5

4

+1，
∴a₂=log2

5

4

+1；
（Ⅱ）設(shè)n-1≤x＜n，則0≤x-（n-1）＜1，
∴f（x）=2¹f（x-1）=2²f（x-2）=…=2^n-1f[x-（n-1）]=2^n-1（2^x-n+1-1）=2^x-2^n-1，
∵2ⁿ＜2ⁿ+1＜2ⁿ⁺¹，∴x=log₂（2ⁿ+1）-1∈（n-1，n），
即方程f（x）=

1

2

在x∈[n-1，n）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，
∴a_n=log₂（2ⁿ+1）-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用函數(shù)解析式是關(guān)鍵．