Question

已知雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，一個焦點(diǎn)為F（0，c）（c＞0），兩準(zhǔn)線間的距離為1，|AF|、
|AB|、|BF|成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F作直線l交雙曲線上支于M、N兩點(diǎn)，如果S_△MON=-

7

2

tan∠MON，求△MBN的面積．

Answer 1

分析：（I）依題意可分別表示出|AF|，|AB|和|BF|，進(jìn)而根據(jù)三者成等差數(shù)列建立等式求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而利用兩準(zhǔn)線間的距離求得a和c的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和c，進(jìn)而求得b，則雙曲線的方程可得．
（II）先利用三角形面積公式表示出△MON的面積，整理求得

OM

•

ON

的值，進(jìn)而設(shè)出M，N的坐標(biāo)表示出

OM

和

ON

，進(jìn)而求得x₁x₂+y₁y₂=-7．設(shè)出直線MN的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用判別式和方程的兩根的范圍求得k的范圍，把y₁y₂的表達(dá)式代入上式，整理求得k，進(jìn)而求得三角形MBN的面積．

解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵

2a2

c

=1，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴雙曲線方程為y2-

x2

3

=1．
（II）∵S_△MON=

1

2

|OM|•|ON|•sin∠MON，
∴

1

2

|OM|•|ON|•sin∠MON=-

7

2

•

sin∠MON

cos∠MON

整理得|OM|•|ON|•cos∠MON=-7，即

OM

•

ON

=-7．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是

OM

=(x1，y1)，

ON

=(x2，y2)，
∴x₁x₂+y₁y₂=-7．
設(shè)直線MN的斜率為k，則MN的方程為y=kx+2．
∴

y=kx+2 y2- x2 3 =1

消去y，整理得（3k²-1）x²+12kx+9=0．
∵M(jìn)N與雙曲線交于上支，
∴△=（12k）²-4×9×（3k²-1）=36k²+36＞0，x₁x₂=

9

3k2-1

＜0，x1+x2=

-12k

3k2-1

，
∴k2＜

1

3

．
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=-7，整理得x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-7，
代入得：

9

3k2-1

+

9k2

3k2-1

+

-24k2

3k2-1

=-11，解得k2=

1

9

，滿足條件．
S_△MBN=

1

2

|BF|•|x2-x1|=

1

2

×3×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

×3×

144k2 (3k2-1)2 -4• 9 3k2-1

=

1

2

×3×3

10

=

9 10

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．查了學(xué)生對問題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力．