Question

直線l：y=-2，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上、下頂點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，連接AP并延長交直線l于點(diǎn)N，連接PB并延長交直線l于點(diǎn)M，如圖所示．
（1）設(shè)AP所在的直線的斜率為k₁，BP所在的直線的斜率為k₂，試求k₁•k₂的值（用a，b表示）；
（2）設(shè)橢圓的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)A（0，1）．
①求MN的最小值；
②記以MN為直徑的圓為圓C，隨著點(diǎn)P的變化，圓C是否恒過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，如不過定足，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的斜率

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓上點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足橢圓的方程，求出直線AP、BP的斜率k₁、k₂的表達(dá)式，計(jì)算出k₁k₂的值；
（2）先根據(jù)題意求出橢圓的方程，再利用（1）中的結(jié)論求出①中MN的最小值；
②寫出以MN為直徑的圓的方程，根據(jù)圖形的對(duì)稱性知，以MN為直徑的圓過定點(diǎn)在y軸上，令x=0，求出y的值即可得出定點(diǎn)來．

解答： 解：（1）∵橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
橢圓上點(diǎn)P為（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴

x02

a2

=1-

y02

b2

=-

y02-b2

b2

，即

y02-b2

x02

=-

b2

a2

；
∴k1k2=

y0-b

x0

•

y0+b

x0

=

y02-b2

x02

=-

b2

a2

；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由題意知e=

c

a

=

3

2

，b=1，
即a²-c²=1，聯(lián)立方程解得a=2；
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
①由（1）知k_BM•k_AN=k_PB•k_AN=-

1

4

，
∵k_BM•k_AN=

-1

x1

•

-3

x1x2

，
∴x₁x₂=-12；
此時(shí)不妨設(shè)x₁＜0，
此時(shí)MN=|x₁-x₂|=x₂-x₁=x₂+

12

x2

≥2

x2• 12 x2

=4

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x₂=-x₁=2

3

時(shí)取“=”；
∴MN的最小值是4

3

；
②以MN為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0，
由圖形的對(duì)稱性知，如果以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在y軸上，
此時(shí)令（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0中x=0，
得（y+2）²=-x₁x₂=12，∴y=-2±2

3

；
即以MN為直徑的圓是圓C，隨著點(diǎn)P的變化，圓C恒過定點(diǎn)（0，-2±2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，是綜合題，屬于難題．