Question

已知三次函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²-6x+1（x∈R），a，b為實數(shù)．
（1）若a=3，b=3時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）+7有唯一零點，若b∈[1，3]，求

g(1)

g′(0)

的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的極值；
（2）函數(shù)g（x）=f′（x）+7有唯一零點，所以△=b²-4a=0⇒a=

b2

4

，所以

g(1)

g′(0)

=

a+b+1

b

=

a+1

b

+1=

b2 4 +1

b

+1=

b

4

+

1

b

+1，令h（b）=

b

4

+

1

b

+1，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²-6x+1，
∴f′（x）=3x²+3x-6=3（x-10）（x+2）…（2分）
令f′（x）=0，∴x=-2或x=1，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴f（x）_極大值=f（-2）=11，f（x）_極小值=f（1）=-

5

2

…（5分）
（2）g（x）=f′（x）+7=ax²+bx+1，∴g′（x）=2ax+b，
因為函數(shù)g（x）=f′（x）+7有唯一零點，所以△=b²-4a=0⇒a=

b2

4

，…（8分）
所以

g(1)

g′(0)

=

a+b+1

b

=

a+1

b

+1=

b2 4 +1

b

+1=

b

4

+

1

b

+1，令h（b）=

b

4

+

1

b

+1，則
h′（b）=

1

4

-

1

b2

，令h′（b）=0，又b∈[1，3]，則b=2，
當(dāng)b∈（1，2）時，h′（b）＜0，當(dāng)b∈（2，3）時，h′（b）＞0，
∴h（b）_min=h（2）=

2

4

+

1

2

+1=2．∴(

g(1)

g′(0)

)min=2…（11分）
又h（1）=

9

4

，h（3）=

25

12

，
所以

g(1)

g′(0)

的取值范圍是[2，

9

4

]…（12分）

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于中檔題．