Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期為2，且x∈（0，1）時(shí)，．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)λ為何值時(shí)，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有實(shí)數(shù)解．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，得f（0）=0．再由最小正周期為2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通過(guò)在（-1，0）上取變量，轉(zhuǎn)化到（0，1）上，應(yīng)用其解析式求解．
（2）用定義，先任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．
（3）根據(jù)題意，求得f（x）在[-1，1]上的值域即可．
解答：解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0．
又∵2為最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），，
∴，
∴

（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）==，
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

（3）∵f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴，
即f（x）∈（，）．
同理，x在（-1，0）上時(shí)，f（x）∈（，）．
又f（-1）=f（0）=f（1）=0，
∴當(dāng)λ∈（，）∪（，）或λ=0時(shí)，f（x）=λ在[-1，1]內(nèi)有實(shí)數(shù)解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查如何利用求對(duì)稱區(qū)間上的解析式，特別注意端點(diǎn)問(wèn)題，還考查了用定義證明單調(diào)性求分段函數(shù)值域問(wèn)題．