Question

12．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點，過原點的直線交橢圓于A、B兩點，AF₂⊥BF₂，|AF₂|=6，|BF₂|=8，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1．

Answer 1

分析 如圖所示，由橢圓的對稱性可得：OA=OB，又F₁O=F₂O，及其AF₂⊥BF₂，可得四邊形AF₁BF₂是矩形，再利用橢圓的定義及其勾股定理即可得出．

解答 解：如圖所示，
由橢圓的對稱性可得：OA=OB，
又F₁O=F₂O，
∴四邊形AF₁BF₂是平行四邊形，
又AF₂⊥BF₂，
∴四邊形AF₁BF₂是矩形，
∵|AF₂|=6，|BF₂|=8，
∴|F₁F₂|=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10=2c，2a=6+8，
解得c=5，a=7．
∴b²=a²-c²=24．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行四邊形與矩形的定義與性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．