Question

已知f（x）在定義域上是奇函數(shù)，且在[a，b]（0＜a＜b）上是減函數(shù)，圖象如圖所示．
（1）化簡(jiǎn)：f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）+f（

-2a-b

3

）+f（

-a-2b

3

）；
（2）畫出函數(shù)f（x）在[-b，-a]上的圖象；
（3）證明：f（x）在[-b，-a]上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，可將原式化為f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）-f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

），進(jìn)而得到答案．
（2）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可由函數(shù)在[a，b]（0＜a＜b）上的圖象，對(duì)稱變換后畫出函數(shù)f（x）在[-b，-a]上的圖象；
（3）任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合函數(shù)在[a，b]（0＜a＜b）上是減函數(shù)，可判斷出f（x）在[-b，-a]上是減函數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）在定義域上是奇函數(shù)，
∴f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）+f（

-2a-b

3

）+f（

-a-2b

3

）
=f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）-f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）
=0
（2）根據(jù)f（x）在定義域上是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
故函數(shù)f（x）在[-b，-a]上的圖象
如下圖所示

證明：（3）任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，
∵-b≤x₁＜x₂≤-a
∴a≤-x₂＜-x₁≤b
又∵f（x）在[a，b]上是減函數(shù)，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
∵f（x）在定義域上是奇函數(shù)，
∴-f（x₂）＞-f（x₁）
即f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在[-b，-a]上是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，與函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度不大，屬基礎(chǔ)題．