Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱數(shù)列{an}為S數(shù)列．

（1）S數(shù)列的任意一項(xiàng)是否可以寫(xiě)成其某兩項(xiàng)的差？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）①是否存在等差數(shù)列為S數(shù)列，若存在，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②是否存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列，若存在，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）S數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以寫(xiě)成其某兩項(xiàng)的差；證明見(jiàn)詳解（2）①存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1滿足題意；②不存在，證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)新數(shù)列的定義，利用進(jìn)行計(jì)算證明；

（2）①假設(shè)存在等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的公差進(jìn)行分類討論即可；

②用反證法證明，假設(shè)存在滿足題意的數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，推出矛盾.

（1）∵數(shù)列{an}是S數(shù)列，

∴對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，

∴n≥2時(shí)，，

∴Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap，即an＝am﹣ap，

而n＝1時(shí)，S2＝aq，則a1＝aq﹣a2，

故S數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以寫(xiě)成其某兩項(xiàng)的差；

（2）①假設(shè)存在等差數(shù)列為S數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d，

（i）當(dāng)d＝0時(shí)，若a1≠0，則對(duì)任意的正整數(shù)n，不

可能存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，即na1＝a1；

（ii）當(dāng)d＝0且a1＝0時(shí)，顯然滿足題意；

（iii）當(dāng)d≠0時(shí)，由Sn＝am得，

，

故，

∵，n＝1時(shí)顯然存在m＝1滿足上式，

n＝2時(shí)，，

∴，

此時(shí)符合題意，

綜上，存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1滿足題意；

②假設(shè)存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列，則a1＞0，q＞0，

∴對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，

∵

，

∴，即，

即am+1＜Sn+1＜am+2，

∵Sn+1∈{an}且{an}單調(diào)遞增，

顯然當(dāng)n＞logq（q+1）﹣1時(shí)，不存在t∈N，使得Sn+1＝at，

這與S數(shù)列的定義矛盾．

故不存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列．