Question

已知函數(shù)f（x）圖象與函數(shù)h（x）=x+

1

x

+2的圖象關于點A（0，1）對稱
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）g（x）=f（x）+

a

x

，x∈[1，2]，求g（x）最小值M（a）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用函數(shù)的對稱性，建立對應關系即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出g（x）=f（x）+

a

x

，x∈[1，2]的表達式，通過討論a的取值范圍，即可求g（x）最小值M（a）．

解答： 解：（1）設（x，y）是f（x）上的任意一點，（x'，y'）是h（x）上和（x，y）關于A對稱的對應點，
則

x+x′ 2 =0 y+y′ 2 =1

，即

x′=-x y′=2-y

，
∵（x'，y'）是h（x）上的點，
∴y′=h（x′），
即2-y=h（-x），則2-y=-x-

1

x

+2，
即y=x+

1

x

，則y=f（x）=x+

1

x

．
（2）g（x）=f（x）+

a

x

=x+

1

x

+

a

x

=x+

1+a

x

，
若1+a≤0，即a≤-1，則g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，即g（x）最小值M（a）=g（1）=1+1+a=a+2．
若1+a＞0，即a＞-1時，g（x）在（0，

1+a

）上單調(diào)遞減，在（

1+a

，+∞）上單調(diào)遞增，
若

1+a

≤1，即0＜1+a≤1，即-1＜a≤0，此時g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，即g（x）最小值M（a）=g（2）=2+

1

2

（1+a）=

5

2

+

a

2

．
若1＜

1+a

＜2，即1＜1+a＜4，即0＜a＜3，此時g（x）在[1，2]上的最小值M（a）=g（

1+a

）=2

1+a

，
若

1+a

≥2，即1+a≥4，即a≥3時，g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，即g（x）最小值M（a）=g（1）=1+1+a=a+2．

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)最值的求解，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．