Question

10．若S_n為正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和且滿足a₂=2，S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1，則a₃與a₅的等比中項(xiàng)為±8．

Answer 1

分析 通過a₂=2代入計(jì)算可知a₁=1，通過對S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1兩邊同時(shí)除以a_n+1可知$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1，變形可知$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2），進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2}是首項(xiàng)為-1、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，利用a_n=S_n-S_n-1化簡可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a₂=2，
∴a₁+2=$\frac{2}{2{a}_{1}}$•a₁+2，即a₁=1，
S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1，
∵S_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{2{a}_{n}}$S_n+a_n+1，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2），
又∵$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$-2=-1，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2}是首項(xiàng)為-1、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a_n-（2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，
∴a₃與a₅的等比中項(xiàng)為±a₄=±2³=±8，
故答案為：±8．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．注：由于本題求第3、5項(xiàng)容易計(jì)算，亦可直接代入計(jì)算．