Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，求{b_n}的前n項和T_n；
（3）在（2）的條件下，對任意n∈N^*，T_n＞

m

23

都成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，設(shè)公差為d，代入a₁+a₂+a₃=12，求出d，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知b_n=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項求和法能求出T_n．
（3）由（2）知T_n=

1

4

（1-

1

n+1

），T_n+1-T_n=

1

4

（1-

1

n+2

）-

1

4

（1-

1

n+1

）＞0，從而得到[T_n]_min=T₁=

1

8

．由此能求出任意n∈N^*，T_n＞

m

23

都成立的整數(shù)m的最大值．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，設(shè)出公差為d，
∴a₁+a₁+d+a₁+2d=12，∴a₁+d=4，可得2+d=4，解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n；
（2）b_n=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4n+4

；
（3）由（2）知T_n=

1

4

（1-

1

n+1

），
T_n+1-T_n=

1

4

（1-

1

n+2

）-

1

4

（1-

1

n+1

）＞0．
∴數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列．
∴[T_n]_min=T₁=

1

8

．
∴

m

23

＜

1

8

，
∴m＜

23

8

．
∴整數(shù)m的最大值是2．

點評：此題主要考查等差數(shù)列的通項公式及其前n項和的公式，考查數(shù)列求和、數(shù)列單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力．