在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為．以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2．
（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點(diǎn)（與O不重合）．
①若MO＝2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

（1）;（2）①;②．

解析試題分析：（1）對于曲線C1：的處理，關(guān)鍵問題是兩個(gè)絕對值的處理，根據(jù)x,y的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)系中的四個(gè)象限有關(guān)，進(jìn)而即可得到，即可得出橢圓方程; （2）①由l是線段AB的垂直平分線，可轉(zhuǎn)化為：，又由MO＝2OA，可轉(zhuǎn)化得到：，這樣的好處是兩條件均轉(zhuǎn)化為向量了，設(shè)出點(diǎn)M和點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到關(guān)系：解出再利用點(diǎn)M在所求橢圓上即可求出：;②中要求△AMB的面積的最小值，根據(jù)此地三角形的特點(diǎn)，不難想到直線AB的設(shè)出，根據(jù)斜率是否存在，可先考慮兩種特殊情況：一種不存在;另一種為0，再考慮一般情形，運(yùn)用方程組思想即可得：和，進(jìn)而表示出面積：，最后結(jié)合不等式知識即可求出最小值．
試題解析：（1）由題意得 又，解得，．
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                4分
（2）①設(shè)，，則由題設(shè)知：，．
即 解得                               8分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C2上，所以，
即，亦即．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為．                                   10分
②假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y＝kx(k≠0)．
解方程組 得，，
所以，.
又 解得，，所以．     12分
由于
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即k＝±1時(shí)等號成立，
此時(shí)△AMB面積的最小值是S△AMB＝．                                 15分
當(dāng)k＝0，S△AMB；
當(dāng)k不存在時(shí)，S△AMB．
綜上所述，△AMB面積的最小值為．                                    16分
考點(diǎn)：1.橢圓方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.基本不等式

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與．當(dāng)直線斜率為0時(shí)，．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點(diǎn)A，且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B.
①求證：；
②當(dāng)R為何值時(shí)，取得最大值？并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知平面上的動點(diǎn)P（x，y）及兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K1，K2且K1K2=－
(1).求動點(diǎn)P的軌跡C方程；
(2).設(shè)直線L：y=kx+m與曲線C交于不同兩點(diǎn)，M，N，當(dāng)OM⊥ON時(shí)，求O點(diǎn)到直線L的距離（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)為拋物線上不同于的兩點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切于點(diǎn).

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點(diǎn)滿足，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的方程為，離心率為，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)N，已知的值.
（3）直線交橢圓于不同兩點(diǎn)P,Q，P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′，滿足(O為原點(diǎn))，若點(diǎn)S滿足，判定點(diǎn)S是否在橢圓上，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，已知點(diǎn)B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，求證：OM⊥MN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e＝.過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8.

(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)動直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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