橢圓的方程為，離心率為，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)N，已知的值.
（3）直線交橢圓于不同兩點(diǎn)P,Q，P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′，滿足(O為原點(diǎn))，若點(diǎn)S滿足，判定點(diǎn)S是否在橢圓上，并說明理由.

(1)(2)-1（3）見解析

解析試題分析：
(1)根據(jù)題意設(shè)出橢圓的方程,題目已知離心率即可得到的值,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形以焦距為底邊長(zhǎng),以短半軸長(zhǎng)為高,即該三角形的面積為,再根據(jù)之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的交點(diǎn)在x軸的正半軸,故拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),即可求出得到拋物線的方程.
(2)討論直線AB的斜率,當(dāng)斜率不存在時(shí)與y軸沒有交點(diǎn),所以不符合題意,則斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k得到直線AB的方程,聯(lián)立直線與拋物線的方程得到AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理,把向量的橫坐標(biāo)帶入向量的坐標(biāo)表示得到之間的關(guān)系為反解,帶入,利用(韋達(dá)定理)帶入即可得到為定值.
(3)設(shè)出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),則可以得到的坐標(biāo),帶入條件得到P,Q橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,因?yàn)镻,Q在橢圓上,則滿足橢圓的方程,這兩個(gè)條件得到的三個(gè)式子相加配方即可證明點(diǎn)S在橢圓上,即滿足橢圓的方程.
試題解析：
（1）由題意，橢圓的方程為，又
解得,∴橢圓的方程是.由此可知拋物線的焦點(diǎn)為,得,所以拋物線的方程為.      4分
（2）是定值,且定值為,由題意知，
直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為,
則聯(lián)立方程組
消去得:且,由,得整理得可得
.      9分
（3）設(shè)則
由得 ①
將點(diǎn)坐標(biāo)帶入橢圓方程得, ② ③
由①+②+③得
所以點(diǎn)滿足橢圓的方程,所以點(diǎn)在橢圓上.   13分
考點(diǎn)：拋物線橢圓根與系數(shù)的關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其上頂點(diǎn)為已知是邊長(zhǎng)為的正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，記．若在線段上取一點(diǎn)，使得，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求出該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線，是拋物線的焦點(diǎn)。

（1）在拋物線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最小；
(2)如圖，過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).
①若直線AB的傾斜角為，求弦AB的長(zhǎng)度；
②若直線AO、BO分別交直線于兩點(diǎn),求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為．以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2．
（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點(diǎn)（與O不重合）．
①若MO＝2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，

已知橢圓E:的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交
橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得四邊形AOBC為平行四邊形?若存在求出的值，若不存在說明理
由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)，求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且焦距為6，的周長(zhǎng)為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓 ,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)＝λ，求λ的最大值．

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