Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，又f（x）在x=0處有極值，在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上是單調(diào)的，且在這兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反．
（1）求c的值；
（2）求

b

a

的取值范圍；
（3）當(dāng)b=3a時(shí)，求使A={y|y=f（x），-3≤x≤2}，A⊆[-3，2]成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由題意得f'（0）=0即可得到c=0；
（2）由（1）得，f'（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零點(diǎn)為x=0或x=-

2b

3a

，再根據(jù)f（x）在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上的單調(diào)且單調(diào)性相反，列出不等式組，化簡(jiǎn)得-4≤-

2b

3a

≤-2，故3≤

b

a

≤6；
（3）將b=3a代入到f'（x）中，化簡(jiǎn)得f'（x）的零點(diǎn)為x=0或-2，討論當(dāng)a＞0和當(dāng)a＜0時(shí)f'（x）的情況，可以得出兩種情況下f（x）在區(qū)間[-3，2]上的取值范圍，最后根據(jù)不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化簡(jiǎn)即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，f'（x）=3ax²+2bx+c，f（x）在x=0有極值，
∴f'（0）=0即c=0
（2）f'（x）=3ax²+2bx，由f'（x）=x（3ax+2b）=0，
得x=0或x=-

2b

3a

f（x）在區(qū)間（-6，-4）和（-2，0）上單調(diào)且單調(diào)性相反-4≤-

2b

3a

≤-2，故3≤

b

a

≤6．
（3）b=3a，且-2是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，f（-2）=-8a+12a+d=0，d=-4af（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）由f'（x）=0得x=0或x=-2
①當(dāng)a＞0時(shí)

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以 當(dāng)a＞0時(shí)，若-3≤x≤2，則-4a≤f（x）≤16a
②當(dāng)a＜0時(shí)

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	-4a	↘	0	↗	-4a	↘	16a

所以 當(dāng)a＜0時(shí)，若-3≤x≤2，則16a≤f（x）≤-4a
得

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

即0＜a≤

1

8

或-

3

16

≤a＜0故 a的取值范圍是(0，

1

8

]∪[-

3

16

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查方程根的討論，屬于中檔題．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．