Question

已知函數(shù)f（t）=t+

1

t

-

3

2

，t∈[

1

2

，2]．
（1）求f（t）的值域G；
（2）若對于G內(nèi)的所有實數(shù)x，不等式-x²+x+2m²≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）首先根據(jù)不同的定義域利用分類討論的方法分別用均值不等式和導數(shù)分別求出函數(shù)的值域．
（2）利用第一步的結論，利用分離參數(shù)的方法，根據(jù)恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=t+

1

t

-

3

2

  t∈[

1

2

，2]
設g（t）=t+

1

t

  t∈[

1

2

，2]
①利用均值不等式g(t)min=2

t• 1 t

=2（當且僅當t=1）
②當t∈[

1

2

，1)，函數(shù)g′(t)=1-

1

t2

＜0
所以函數(shù)g（t）為單調(diào)遞減函數(shù)．
③在x=

1

2

時，函數(shù)g（t）_max=

5

2

當t∈（1，2]，函數(shù)g（t）_max=

5

2

綜上所述函數(shù)g（t）的值域為：[2，

5

2

]
所以函數(shù)f（t）的值域為：[

1

2

，1]
（2）對于G內(nèi)的所有實數(shù)x，不等式-x²+x+2m²≥1恒成立，
只需滿足2m²≥（x²-x+1）_max即可．
首先確定k（x）=x²-x+1的最大值，
由于x∈[

1

2

，1]
所以函數(shù)k（x）_max=k（1）=1
所以2m²≥1
解得：m≥

2

2

或m≤-

2

2

所以m的取值范圍為：m≥

2

2

或m≤-

2

2

點評：本題考查的知識要點：利用分類討論的方法根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，恒成立問題的應用．屬于中等題型．