Question

6．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時，求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）利用f（0）=0求得a的值，再根據(jù)f（x）在[-1，2]是單調(diào)遞增的，從而求得函數(shù)f（x）在[-1，2]上的值域．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{（{1+2}^{{x}_{2}}）（1{+2}^{{x}_{1}}）}$，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，而分母（1+${2}^{{x}_{1}}$）•（1+${2}^{{x}_{2}}$）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）因函數(shù)f（x）在x=0有意義，又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，∴a=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
由（1）可知f（x）在[-1，2]是單調(diào)遞增的，易得$f{（x）_{min}}=f（-1）=-\frac{1}{6}$，$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{3}{10}$，
即f（x）的值域是$[-\frac{1}{6}，\frac{3}{10}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明方法，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．