Question

11．已知拋物線的方程是y²=2px（p＞0），其焦點(diǎn)是F，△ABC的頂點(diǎn)都在拋物線上，直線AB，AC，BC斜率存在且滿足$\overrightarrow{F{A}}+\overrightarrow{F{B}}+\overrightarrow{FC}$=$\vec 0$，則$\frac{1}{{{k_{{A}{B}}}}}+\frac{1}{{{k_{{B}C}}}}+\frac{1}{{{k_{C{A}}}}}$=0．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，可得△ABC的重心是F，從而y₁+y₂+y₃=0，利用斜率公式，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
且x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，x₃=$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{2p}$．
則∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴△ABC的重心是F，
∵拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（$\frac{p}{2}$，0），
∴y₁+y₂+y₃=0，
∴$\frac{1}{{{k_{{A}{B}}}}}+\frac{1}{{{k_{{B}C}}}}+\frac{1}{{{k_{C{A}}}}}$=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2p}$+$\frac{{y}_{2}+{y}_{3}}{2p}$+$\frac{{y}_{1}+{y}_{3}}{2p}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{p}$=0．
故答案為：0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的性質(zhì)，同時(shí)考查向量知識(shí)的運(yùn)用，運(yùn)用斜率公式和三角形的重心是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．