Question

已知橢圓C：（a＞b＞0），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a，b，c成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的離心率e的值．
（2）若橢圓C的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為A、B，求證：∠F₁AB=90°．

Answer 1

（1）解：∵橢圓C：（a＞b＞0），
其左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
且a，b，c成等比數(shù)列．
∴b²=ac及b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，
∴e=1-e²，
解得e=，（舍），
∴e=．
（2）證明：∵橢圓C的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為A、B，
∴A（0，b），B（a，0），
∵F₁（-c，0），
∴，，
∴，
故∠F₁AB=90°．
分析：（1）由題設(shè)b²=ac及b²=a²-c²，由此能求出橢圓的離心率e的值．
（2）由題設(shè)A（0，b），B（a，0），又F₁（-c，0），得，，于是，故∠F₁AB=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，具體涉及到橢圓離心率的求法和證明∠F₁AB=90°．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．