Question

【題目】已知橢圓C：（）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)S和T，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合一元二次根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

（1）由題意，以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為

，∴圓心到直線的距離為（*）

∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

∴，

代入（*）式得，∴，

故所求橢圓方程為

（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，設(shè)，

將直線方程代入橢圓方程得，

，，

設(shè)，，則，

由，

當(dāng)時(shí)，直線l為x軸，P點(diǎn)在橢圓上適合題意；

當(dāng)時(shí)，得

∴，

將上式代入橢圓方程得：，

整理得：，

由知，所以，∴

綜上可得