Question

在四面體OABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c，則下列命題：
①對(duì)棱中點(diǎn)連線長(zhǎng)相等；        
②不含直角的底面△ABC是鈍角三角形；
③外接球半徑R=

1

2

a2+b2+c2

；
④直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的外心；
⑤S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC；
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，①對(duì)棱中點(diǎn)連線長(zhǎng)可看作矩形的對(duì)角線，因此相等；
②不妨設(shè)a≥b≥c，則

a2+c2

+

b2+c2

＞a+b＞

a2+b2

，因此可得最大角A為銳角，因此為銳角三角形；
③把四面體OABC的四個(gè)頂點(diǎn)看作長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，則外接球半徑R=

1

2

a2+b2+c2

；
④直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
⑤V_{四面體OABC}=

1

3

×

1

2

ab×c=

1

3

h•S△ABC，而

1

2

c×

ab

a2+b2

=

1

2

h

c2+( ab a2+b2 )2

，化為h=

abc

a2b2+a2c2+b2c2

．可得S_△ABC，S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=(

1

2

bc)2+(

1

2

ab)2+(

1

2

ac)2，化簡(jiǎn)即可判斷出．

解答： 解：如圖所示，
①對(duì)棱中點(diǎn)連線長(zhǎng)可看作矩形的對(duì)角線，因此相等；
②不妨設(shè)a≥b≥c，則

a2+c2

+

b2+c2

＞a+b＞

a2+b2

，因此可得最大角A為銳角，因此為銳角三角形，不含直角的底面△ABC不是鈍角三角形，因此不正確；
③把四面體OABC的四個(gè)頂點(diǎn)看作長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，則外接球半徑R=

1

2

a2+b2+c2

，正確；
④直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心，不是外心；
⑤V_{四面體OABC}=

1

3

×

1

2

ab×c=

1

3

h•S△ABC，
而

1

2

c×

ab

a2+b2

=

1

2

h

c2+( ab a2+b2 )2

，化為h=

abc

a2b2+a2c2+b2c2

．
∴S_△ABC=

abc

2h

，
∴S²_△ABC=

a2b2c2(a2b2+a2c2+b2c2)

4a2b2c2

=

1

4

(a2b2+a2c2+b2c2)，
S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=(

1

2

bc)2+(

1

2

ab)2+(

1

2

ac)2=

1

4

(a2b2+a2c2+b2c2)，
∴S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC，正確．
綜上可得：只有①③⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了由三條相鄰棱相互垂直的四面體的特殊性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．