設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的2倍，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（1，
1
4
），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，求△ABA′的外接圓方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（I）由已知a=2b，
2b2
a
=1，解得a=2，b=1，可得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y-
1
4
=k（x-1），代入橢圓方程，得（1+4k2）x2-（8a2-2k）x+4k2-2k-
15
4
=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合線段AB的中點(diǎn)為M（1，
1
4
），求出k，線段AB與x軸的交點(diǎn)為N（
3
4
，0），即為△ABA′的外接圓的圓心，再求出△ABA′的外接圓的半徑，即可求△ABA′的外接圓方程．
解答： 解：（I）由已知a=2b，
2b2
a
=1，解得a=2，b=1，…（3分）
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．…（4分）
（II）設(shè)直線l的方程為y-
1
4
=k（x-1），設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），…（6分）
直線代入橢圓方程，得（1+4k2）x2-（8a2-2k）x+4k2-2k-
15
4
=0
則x1+x2=
8k2-2k
1+4k2
，x1x2=
4k2-2k-
15
4
1+4k2
，…（7分）
線段AB的中點(diǎn)為M（1，
1
4
），∴x1+x2=
8k2-2k
1+4k2
=2，解得k=-1．…（8分）
△ABA′的外接圓的圓心為線段AB的垂直平分線與線段AA′（即x軸）的垂直平分線的交點(diǎn)，線段AB的垂直平分線的方程為y-
1
4
=x-1，即y=x-
3
4
，
∴線段AB與x軸的交點(diǎn)為N（
3
4
，0），即為△ABA′的外接圓的圓心．…（10分）
∵|AB|=
1+1
•
4-4×
9
20
=
22
5
，∴(
1
2
|AB|)2=
11
10
，
點(diǎn)N（
3
4
，0）到直線AB的距離d=
1
2
2
，∴d2=
1
8
，
記△ABA′的外接圓的半徑R，則R=
11
10
+
1
8
=
49
40
，
∴△ABA′的外接圓的方程為（x-
3
4
）2+y2=
49
40
．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查求△ABA′的外接圓方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x||x|＜2}，則A∩B等于（　�。�
A、{x|-1＜x＜2}
B、{x|2＜x＜3}
C、{x|x＜-1}
D、{x|x＞3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，試求：
（1）xyz的值；
（2）x4+y4+z4的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，a1=a，a2=p（p為常數(shù)且p＞0），Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=
n(an-a1)
2
．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列？若是，求其通項(xiàng)公式；若不是，請說是理由．
（Ⅲ）若記Pn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
（n∈N*），求證：P1+P2+…+Pn＜2n+3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-bx-
a
x
（a、b為常數(shù)），在x=1時取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a-b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)n∈N*時，試比較（
n
n+1
）n（n+1）與（
1
e
）n+2的大小并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），直線l：y=kx+b（k，b∈R，kb≠0）與曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N，直線l與x軸交于點(diǎn)P．
（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）若m=4．
①設(shè)b=2，若x軸上有一定點(diǎn)F（2，0），記△MNF的面積為S（k），求S（k）的最大值；
②設(shè)b=2k，若點(diǎn)T在x軸上，且|TM|=|TN|．
求證：
|PT|
|MN|
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三條：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，設(shè)F是拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作斜率分別為k1、k2的兩條直線l1、l2，且k1•k2=-1，l1與E相交于點(diǎn)A、B，l2與E相交于點(diǎn)C，D．已知△AFO外接圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求拋物線E的方程；
（2）若
AF
•
FB
+
DF
•
FC
=64，求直線l1、l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=（x-1）x 
2
3
在[-1，
1
2
]上的最值．

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同步練習(xí)冊答案