Question

9．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρsin²θ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），兩曲線相交于M，N兩點．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若P（-2，-4），求|PM|+|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）消去直線l的參數(shù)可得普通方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，帶入化解可得曲線C直角坐標方程．
（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義和韋達定理求解即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得x-y=2．
∴直線l的普通方程為x-y-2=0．
曲線C：ρsin²θ=4cosθ，
可得（ρsinθ）²⁼4ρcosθ，
根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，
可得y²=4x
∴曲線C的直角坐標方程為y²=4x．
（2）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=4x，
得到t²-12$\sqrt{2}$t+48=0，
得M，N對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁t₂=48＞0．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12$\sqrt{2}$．
另解：由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x-y-2=0\end{array}\right.$聯(lián)立解得：$M（4+2\sqrt{3}，2+2\sqrt{3}），N（4-2\sqrt{3}，2-2\sqrt{3}）$．
由兩點間距離公式，得：|PM|+|PN|=12$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應用，屬于中檔題．