Question

已知x=-2是函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若x∈[-4，0]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x=-2是函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)．f′（-2）=0，可得實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中結(jié)論，求出函數(shù)f（x）的解析式及導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，分析區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，可得函數(shù)的最大值．

解答：解：（I）∵f（x）=（ax+1）e^x
∴f′（x）=（ax+a+1）e^x
∵x=-2是函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)．
∴f′（-2）=（-2a+a+1）e^x=0
即-a+1=0
解得a=1
（II）由（I）得f（x）=（x+1）e^x，
f′（x）=（x+2）e^x
∵x∈[-4，-2）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
x∈（-2，0]時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
又∵f（-4）=-3e^-4，f（0）=1＞f（-4），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-4，-2），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，0]，最大值為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，求出a值，進(jìn)而得到函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．