Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+5

ax+1

(a∈R)
（1）若f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂處取極值，且滿足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在[1，3]上大于0恒成立，得到關(guān)于x的二次函數(shù)，只要二次函數(shù)圖象當(dāng)x∈[1，3]時恒在x軸上方即可，再利用二次函數(shù)根的分布來判斷即可．
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂處取極值，則x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的兩根，利用韋達(dá)定理可得

x1+x2=- 2 a x1x2=-5

，把|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|中的f（x₁）和f（x₂）用x₁，x₂表示，化簡，即可求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f′(x)=

ax2+2x-5a

(ax+1)2

，
∴由f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增得：f′(x)≥0⇒

ax2+2x-5a2 ax+1≠0

．
令g（x）=ax²+2x-5a，則得

a＞0 g(1)=-4a+2≥0

⇒0＜a≤

1

2

；
或

a＜0 g(1)=-4a+2≥0 g(3)=4a+6≥0

⇒-

3

2

≤a＜0；
又當(dāng)a=0時，g（x）=2x＞0在[1，3]上恒成立，∴-

3

2

≤a≤

1

2

再由ax+1≠0⇒a≠-

1

x

(x∈[1，3])⇒a∉[-1，-

1

3

]．
綜上，a∈[-

3

2

，-1)∪(-

1

3

，

1

2

]
（2）∵f（x）在x=x₁，x=x₂處取極值，∴x₁，x₂是方程g（x）=ax²+2x-5a=0的兩根，
∴

x1+x2=- 2 a x1x2=-5

，
∴由|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|⇒|

x 2 1 +5

ax1+1

-

x 2 2 +5

ax2+1

|≤|x1-x2|⇒|

10a+ 2 a

5a2+1

|≤1，
∴

2

|a|

≤1⇒a≤-2或a≥2．

點(diǎn)評：本題主要考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．