Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2

a

-blnx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為10x+2y-11=0
（1）求y=f（x）的解析式
（2）若點(diǎn)P為曲線y=f（x）上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角取值范圍是[0，

π

4

]，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)即斜率，在x=1處的函數(shù)值即為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出y=f（x）的解析式；
（2）由切線傾斜角的范圍得到斜率范圍，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得到曲線C在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，然后得到關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的不等式，求解不等式得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2

a

-blnx，
∴f′（x）=

2x

a

-

b

x

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為10x+2y-11=0，
∴f（1）=

1

2

，f′（1）=-5，
∴

1

a

=

1

2

，

2

a

-b=-5，
∴a=2，b=6，
∴f（x）=

x2

2

-6lnx；
（2）∵傾斜角α∈[0，

π

4

]，
∴tanα∈[0，1]，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵tanα=f′（x₀）=x0-

6

x0

，
∴0≤x0-

6

x0

≤1，
解得[-

6

，-2]∪[

6

，3]．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍為[-

6

，-2]∪[

6

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是過(guò)該點(diǎn)的切線的斜率，屬于中檔題．