【題目】已知圓，直線，.

（1）證明：不論取任何實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；

（2）當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時，求此最短弦長及直線的方程.

【答案】（1）見解析（2）最短弦長為.直線的方程為.

【解析】

（1）把直線的方程變形后，根據(jù)直線恒過定點，得到關(guān)于與的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線恒過的定點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離，發(fā)現(xiàn)小于圓的半徑，得到此點在圓內(nèi)，故直線與圓恒交于兩點；

（2）由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與垂直時，所截取的線段最短，由圓心和定點的坐標(biāo)求出直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為，求出直線的斜率，由的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線的方程，再由與的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出即為弦心距，根據(jù)圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此時的弦長．

解：（1）證明：因為，

所以，

因為，所以

故直線過定點.

因為圓的圓心為，，，則點在圓內(nèi).

所以直線與圓恒交于兩點.

（2）由（1）知直線過定點，所以當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時有，

弦心距，

所以最短弦長為.

因為，所以，故直線的方程為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次．得到甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖．

（1）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，對預(yù)賽成績的平均值和方差進行分析，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生去參加更合適？請說明理由；

（2）求在甲同學(xué)的8次預(yù)賽成績中，從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績，列出所有結(jié)果，并求抽出的2個成績均大于85分的概率．

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【題目】某品牌經(jīng)銷商在一廣場隨機采訪男性和女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調(diào)查結(jié)果如下：

微信控

非微信控

合計

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計

56

44

100

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)？

（2）現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人，再隨機抽取3人贈送禮品，試求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率．

參考公式：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.050

0.040

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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【題目】設(shè)有如下三個命題：

甲：相交直線l、m都在平面內(nèi)，并且都不在平面內(nèi)；

乙：直線l、m中至少有一條與平面相交；

丙：平面與平面相交．

當(dāng)甲成立時　　

A. 乙是丙的充分而不必要條件

B. 乙是丙的必要而不充分條件

C. 乙是丙的充分且必要條件

D. 乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件

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【題目】已知橢圓C：過點，其左右焦點分別為，，三角形的面積為．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ已知A，B是橢圓C上的兩個動點且不與坐標(biāo)原點O共線，若的角平分線總垂直于x軸，求證：直線AB與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形一定是等腰三角形．

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【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎.按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.

文科生

理科生

合計

獲獎

5

不獲獎

合計

200

參考公式： （其中為樣本容量）

隨機變量的概率分布：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（1）求的值；

（2）填寫上方的列聯(lián)表，并判斷能否有超過的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文、理科有關(guān)”?

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