Question

已知函數(shù)y=x³+3px²+3px+1．
（1）試問(wèn)該函數(shù)能否在x=-1處取到極值？若有可能，求實(shí)數(shù)p的值；否則說(shuō)明理由；
（2）若該函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）該函數(shù)不能在x=-1處取到極值，假設(shè)存在x=-1處取到極值，則此處導(dǎo)數(shù)為0，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)為0求出p，將p值代入驗(yàn)證知，函數(shù)是單調(diào)性函數(shù)，故不可能存在極值．
（2）若該函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)，則在區(qū)間（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，由于其對(duì)稱(chēng)軸不定，故分兩類(lèi)討論，一類(lèi)是對(duì)稱(chēng)軸小于-1，此時(shí)只要左端點(diǎn)函數(shù)值非負(fù)即可，一類(lèi)是對(duì)稱(chēng)軸大于-1，此時(shí)最小值大于0，將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的方程與不等式解出參數(shù)的值．

解答：解：（1）該函數(shù)不能在x=-1處取到極值，理由如下：
假設(shè)存在x=-1處取到極值，則此處導(dǎo)數(shù)為0，
y=x³+3px²+3px+1，y'=3x²+6px+3p，
若該函數(shù)能在x=-1處取到極值，則y'|_x=-1=3-6p+3p=0，
即p=1，此時(shí)，y'=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，這與
該函數(shù)能在x=-1處取到極值矛盾，則該函數(shù)不能在x=-1處取到極值．
（2）若該函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)，
則在區(qū)間（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，
①

-p≤-1 f′(-1)=3-6p+3p≥0

?p=1；
②

-p＞-1 f′(-p)=3p-3p2≥0

?0≤p＜1，
綜上可知，0≤p≤1．則p的取值范圍是[0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，這是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用．本題中用導(dǎo)數(shù)建立參數(shù)的方程與不等式，這是導(dǎo)數(shù)與極值、最值結(jié)合的一種常見(jiàn)方式．