Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，
（1）若f（x）=2f（-x），求

cos2x-sinxcosx

1+sin2x

的值；
（2）設函數F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x），試討論函數F（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，進而化簡sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后將所求式子中的“1”用sin²x+cos²x替換，再分子分母同時除以cos²x，即可求出結果；
（II）先由題意求出F（x）=cos2x+sin2x+1，再由兩角和的正弦公式化簡，由正弦函數的單調區(qū)間和整體思想求出F（x）的單調區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0∴tanx=

1

3

，
則

cos2x-sinxcosx

1+sin2x

=

cos2x-sinxcosx

cos2x+2sin2x

=

1-tanx

1+2tan2x

=

1- 1 3

1+2×( 1 3 )2

=

6

11

，
（Ⅱ）由題意知，F(xiàn)（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈z）得
-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈z），
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈z）得，

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈z），
∴函數F（x）的單調遞增區(qū)間為 [-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈z），
單調遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]  （k∈z）．

點評：本題考查了三角函數的化簡求值以及復合函數的單調性，熟練掌握公式和正弦函數的性質是解題的關鍵，同時注意“1”和sin²x+cos²x的靈活轉化，屬于中檔題．