已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列
的前n項和,是否存在實數(shù)a,使得不等式
對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵a
n+1=a
n2+2a
n,∴a
n+1+1=a
n2+2a
n+1,∴

=2log
2(a
n+1),
∵b
n=log
2(a
n+1),∴

=2,∴數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列.
(2)∵數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列,b
1=1,q=2,∴b
n=2
n-1,∴

=

=

-

,
∴T
n=1-

+

-

+…+

-

=1-

<1,∵不等式

對?n∈N
+恒成立,
只要

≥1=log
0.50.5 即可,即

,即

,
解得-

≤a<0,或

<a≤1,故a的取值范圍 為[-

,0)∪(

,1].
分析:(1)有條件可得

=2log
2(a
n+1),變形可得

=2,從而數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列.
(2)求出數(shù)列

的通項為

-

,可得T
n =1-

<1,要使不等式

對?n∈N
+恒成立,只要

≥1 即可,即

,
解不等式組求得a的取值范圍.
點評:本題主要考查數(shù)列求和和的方法,等比關(guān)系的確定,以及函數(shù)的恒成立問題,尋找使不等式

對?n∈N
+恒成立的條件,是解題的難點.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正項數(shù)列{a
n}滿足:a
1=3,(2n-1)a
n+2=(2n+1)a
n-1+8n
2(n>1,n∈N
*)
(1)求證:數(shù)列
{}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{a
n}的通項a
n.
(2)設(shè)
bn=,求數(shù)列{b
n}的前n項和為S
n,并求S
n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
定義:稱
為n個正數(shù)a
1,a
2,…,a
n的“均倒數(shù)”,已知正項數(shù)列{a
n}的前n項的“均倒數(shù)”為
,則
( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正項數(shù)列a
n中,a
1=2,點
(,an+1)在函數(shù)y=x
2+1的圖象上,數(shù)列b
n中,點(b
n,T
n)在直線
y=-x+3上,其中T
n是數(shù)列b
n的前項和.(n∈N
+).
(1)求數(shù)列a
n的通項公式;
(2)求數(shù)列b
n的前n項和T
n.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正項數(shù)列{a
n}滿足a
1=1,a
n+1=a
n2+2a
n(n∈N
+),令b
n=log
2(a
n+1).
(1)求證:數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列;
(2)記T
n為數(shù)列
{}的前n項和,是否存在實數(shù)a,使得不等式
Tn<log0.5(a2-a)對?n∈N
+恒成立?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正項數(shù)列{a
n},
Sn=(an+2)2(1)求證:{a
n}是等差數(shù)列;
(2)若
bn=an-30,求數(shù)列{b
n}的前n項和.
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