Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）記T_n為數(shù)列的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式對?n∈N₊恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴=2，∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴==-，
∴T_n=1-+-+…+-=1-＜1，∵不等式對?n∈N₊恒成立，
只要 ≥1=log_0.5^0.5 即可，即 ，即 ，
解得-≤a＜0，或 ＜a≤1，故a的取值范圍 為[-，0）∪（，1]．
分析：（1）有條件可得 =2log₂（a_n+1），變形可得 =2，從而數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）求出數(shù)列的通項為 -，可得T_n =1-＜1，要使不等式對?n∈N₊恒成立，只要 ≥1 即可，即 ，
解不等式組求得a的取值范圍．
點評：本題主要考查數(shù)列求和和的方法，等比關(guān)系的確定，以及函數(shù)的恒成立問題，尋找使不等式對?n∈N₊恒成立的條件，是解題的難點．