Question

15．命題p：“方程$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2}$=1是焦點在x軸上的橢圓”；命題q：“已知函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$x³-2mx²+（4m-3）x，方程f'（x）=0沒有實數(shù)根”．若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p，利用橢圓的性質(zhì)可得m的范圍．對于命題q：利用導數(shù)的運算法則、一元二次方程與判別式的關(guān)系即可得出m的取值范圍．對于“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，則p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$是焦點在x軸上的橢圓，∴m＞2，∴若p為真命題，則m＞2．
又∵f'（x）=4x²-4mx+（4m-3）=0沒有實數(shù)根，∴△=16m²-64m+48＜0，解得1＜m＜3，
∴若q為真命題，則1＜m＜3，
又∵“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，∴p是真命題且q是假命題，或p是假命題且q是真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}m＞2\\ m≤1，或m≥3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m≤2\\ 1＜m＜3\end{array}\right.$，
∴m的取值范圍是（1，2]∪[3，+∞）．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、橢圓的性質(zhì)、導數(shù)的運算法則、一元二次方程與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．