設(shè)f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，證明：x∈（0，5）時(shí)，f(x)＜
9xx+1
成立．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜
9x
x+1
等價(jià)于ln（x+1）+
x2-8x
x+1
＜0，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=
1
x+1
+a
當(dāng)a≥0時(shí)，
1
x+1
+a＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，
1
x+1
+a＞0，函數(shù)在（-1，-1-
1
a
）內(nèi)單調(diào)遞增，單調(diào)增區(qū)間為（-1，-1-
1
a
）
1
x+1
+a＜0，函數(shù)在（-1-
1
a
，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，單調(diào)減區(qū)間為（-1-
1
a
，+∞）；
（Ⅱ）證明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜
9x
x+1
等價(jià)于ln（x+1）+
x2-8x
x+1
＜0
令g（x）=ln（x+1）+
x2-8x
x+1
，則g′（x）=
x2+3x-7
(x+1)2

∵x∈（0，5），∴函數(shù)在（0，
-3+
37
2
）上單調(diào)遞增，在（
-3+
37
2
，5）上單調(diào)遞減
∴g（x）max=ln（
-3+
37
2
+1）+
(
-3+
37
2
)2-8•
-3+
37
2
-3+
37
2
+1
＜0
∴x∈（0，5）時(shí)，f(x)＜
9x
x+1
成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
a
2
）-1
（3）首先閱讀材料：對(duì)于函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，則稱AB存在“中值相依切線”．請(qǐng)問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•遼寧）設(shè)f（x）=ln（x+1）+
x+1
+ax+b（a，b∈R，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=
3
2
x在（0，0）點(diǎn)相切．
（I）求a，b的值；
（II）證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜
9x
x+6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時(shí)恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•洛陽(yáng)模擬）設(shè)f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若當(dāng)1≤x≤
74
，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）討論函數(shù)g(x)=af(x)-
1
2
x2（a≥0）的單調(diào)性．
（2）求證：(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)＜e
n+2
2
（n∈N*）

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