Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+6）=-f（x），且y=f（x-3）是奇函數(shù)，給出以下命題，正確的是（　　）
（1）f（x）是周期函數(shù)     
（2）f（x）關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱
（3）f（x）是偶函數(shù)       
（4）f（x）關(guān)于直線x=-3對(duì)稱．

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）（3）（4）
• C、（1）（2）（4）
• D、（1）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）f（x+6）=-f（x）⇒f（x+12）=f（x），于是可判斷（1）之正誤；
（2）y=f（x-3）是奇函數(shù)⇒y=f（x-3）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱⇒f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，于是可判斷其正誤；
（3）y=f（x-3）是奇函數(shù)⇒f（-x-3）=-f（x-3），用x-3替換f（x+6）=-f（x）中的x，即可判斷（3）之正誤；
（4）f（x）關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，⇒f（-6）+f（0）=0，f（-6）=-f（0）≠f（0），于是可判斷（4）之正誤．

解答：解：對(duì)于（1）：∵f（x+6）=-f（x），
∴f[（x+6）+6]=-f（x+6）=-[-f（x）]=f（x），即f（x+12）=f（x），
∴f（x）是周期為12的函數(shù)，故（1）正確；
對(duì)于（2）：∵y=f（x-3）是奇函數(shù)，
∴y=f（x-3）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
而y=f（x-3）的圖象是y=f（x）的圖象向右平移3個(gè)單位得到的，故f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，故（2）正確；
對(duì)于（3）：∵f（x+6）=-f（x），
∴用x-3替換x得：f（x+3）=-f（x-3），又y=f（x-3）是奇函數(shù)，f（-x-3）=-f（x-3），
∴f（-x-3）=f（x+3），
∴f（x）是偶函數(shù)，即（3）正確；
對(duì)于（4）：∵f（x）關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，
∴f（-6）+f（0）=0，f（-6）=-f（0）≠f（0），
∴f（x）不關(guān)于直線x=-3對(duì)稱，即（4）錯(cuò)誤；
綜上所述，（1）（2）（3）正確，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維能力，屬于中檔題．