Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，設(shè)T_n=a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+a₃

C

2 n

+…+a_n

C

n-1 n

+a_n+1

C

n n

（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=2，求T_n；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且公比q=2．
①求T_n；
②用數(shù)學(xué)歸納法證明：T_n＞n²+2n（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意得，a_n=2n-1，利用組合數(shù)性質(zhì)

C

r n

=

C

n-r n

，利用倒序相加法可求得T_n=（n+1）•2ⁿ；
（2））①由題得，a_n=2^n-1，逆用用二項(xiàng)式定理，易求T_n=3ⁿ；
②利用數(shù)學(xué)歸納法證明：3ⁿ＞n²+2n（n∈N^*，n≥2）即可．

解答： 解：（1）由題意得，a_n=2n-1，∵

C

r n

=

C

n-r n

，T_n=a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+a₃

C

2 n

+…+a_n

C

n-1 n

+a_n+1

C

n n

，
∴T_n=a_n+1

C

n n

+a_n

C

n-1 n

+…+a₂

C

1 n

+a₁

C

0 n

=a_n+1

C

0 n

+a_n

C

1 n

+…+a₂

C

n-1 n

+a₁

C

n n

，…2分
∴2T_n=（a₁+a_n+1）

C

0 n

+（a₂+a_n）

C

1 n

+…+（a_n+a₂）

C

n-1 n

+（a_n+1+a₁）

C

n n

，
=（a₁+a_n+1）（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

）=（1+2n+1）2ⁿ，
∴T_n=（n+1）•2ⁿ…4分
（2）①由題得，a_n=2^n-1，T_n=a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n

C

n-1 n

+a_n+1

C

n n

=

C

0 n

+2

C

1 n

+2²

C

2 n

+…+2^n-1

C

n-1 n

+2ⁿ

C

n n

=（1+2）ⁿ=3ⁿ…7分
②證明：（i）當(dāng)n=2時(shí)，T₂=3²=9，2²+2×2=8，T₂＞8，不等式成立，…9分
（ii）假設(shè)n=k（k∈N，k≥2）時(shí)，不等式成立，即3^k＞k²+2k，…10分
當(dāng)n=k+1時(shí)，3^k+1=3•3^k＞3（k²+2k）…11分
∵3（k²+2k）-[（k+1）²+2（k+1）]=2k²+2k-3，
∵k≥2，∴2k²+2k-3＞2k-3＞0，
∴3^k+1＞（k+1）²+2（k+1）．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立…14分
根據(jù)（i）（ii）可知，對任意n∈N^*（n≥2），不等式成立…15分

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查組合數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與推理論證能力，屬于難題．