Question

已知不等式x²-5mx-6m²≤0的解集為A，不等式ax²-x+12a-2＜0的解集為B，
（1）求A；    
（2）當m=1時，A∩B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將一元二次不等式因式分解，兩根的大小引起對m的討論，求出集合A．
（2）求出集合A，將A∩B≠∅，轉(zhuǎn)化為不等式ax²-x+12a-2＜0有解；通過對二次項的符號的討論，求出集合B，判斷出集合A，B的端點的大小，求出a的范圍．

解答：解：（1）原不等式變形為：（x+m）（x-6m）≤0，
當m＞0時，A=[-m，6m]；當m=0時，A={0}；當m＜0時，A=[6m，-m]；…（5分）
（2）當m=1時，A=[-1，6]；∵A∩B≠∅，
即x∈[-1，6]時，不等式ax²-x+12a-2＜0有解，…（7分）
即（x²+12）a＜x+2有解，也就是a＜

x+2

x2+12

有解，則a＜(

x+2

x2+12

)max…（9分）
令t=x+2，∵x∈[-1，6]，∴t∈[1，8]，且x=t-2
∴

x+2

x2+12

=

t

(t-2)2+12

=

t

t2-4t+16

=

1

t+ 16 t -4

≤

1

2 t• 16 t -4

=

1

4

，
（當且僅當，即t=4時取等號），∴(

x+2

x2+12

)min=

1

4

，則a＜

1

4

，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

4

）…（13分）

點評：解二次不等式時，若含參數(shù)，一般要討論，討論的起點往往是二次項系數(shù)的符號、判別式的符號、兩個根的大小．