已知m∈R,設(shè)P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實(shí)根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[-1,1]恒成立.Q:函數(shù)在(-∞,+∞)上有極值.求使P正確且Q正確的m的取值范圍.
【答案】分析:由題設(shè)知x1+x2=a且x1+x2=-2,所以,≤3,由題意,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集,由此知當(dāng)m≤1或0≤m≤5或m≥6時(shí),P是正確的.,由題設(shè)能夠得到當(dāng)且僅當(dāng)△>0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有極值.
由△=4m2-12m-16>0得m<1或m>4時(shí),Q是正確得.由此可知使P正確且Q正確時(shí),求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:由題設(shè)x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實(shí)根,得x1+x2=a且x1x2=-2,
所以,
當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),a2+8的最大值為9,即|x1-x2|≤3
由題意,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5不等式②的解為m≤1或m≥6因?yàn),對m≤1或0≤m≤5或m≥6時(shí),P是正確的.
對函數(shù)求導(dǎo)
令f'(x)=0,即此一元二次不等式的判別式
若△=0,則f'(x)=0有兩個相等的實(shí)根x,且f'(x)的符號如下:

因此,f(x)不是函數(shù)f(x)的極值.
若△>0,則f'(x)=0有兩個不相等的實(shí)根x1和x2(x1<x2),且f'(x)的符號如下:

因此,函數(shù)f(x)在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值.
綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)△>0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有極值.
由△=4m2-12m-16>0得m<-1或m>4,
因?yàn),?dāng)m<1或m>4時(shí),Q是正確的.
綜上,使P正確且Q正確時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1)∪(4,5]∪[6,+∞).
點(diǎn)評:本題考查命題真假的判斷的應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運(yùn)用.
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已知m∈R,設(shè)p:不等式|m2-5m-3|≥3;q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+
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)x+6在(-∞,+∞)上有極值.求使p且q為真命題的m的取值范圍.

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已知m∈R,設(shè)P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實(shí)根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[-1,1]恒成立.Q:函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6
在(-∞,+∞)上有極值.求使P正確且Q正確的m的取值范圍.

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有兩個不同的零點(diǎn).求使“P且Q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知m∈R,設(shè)P:不等式m2+16≤10m;Q:函數(shù)f(x)=3x2+2mx+m+
43
有兩個不同的零點(diǎn),求使“P∧Q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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