設函數(shù)f（x）=a-
2
2x+1

（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），由此等式恒成立即可得出a的值；
（2）由于f（x）的定義域為R，令x1＜x2，再由定義法證明即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）由于f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即a-
2
2-x+1
=-a+
2
2x+1
，
解得：a=1，f（x）=1-
2
2x+1

（2）由于f（x）的定義域為R，令x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-a+
2
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x2+1)(2x1+1)
，
∵x1＜x2，∴2x1-2x2＜0，(2x2+1)(2x1+1)＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于函數(shù)性質(zhì)考查的經(jīng)典題，應好好體會掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z=（a+i）2，ω=4-3i其中a是實數(shù)，
（1）若在復平面內(nèi)表示復數(shù)z的點位于第一象限，求a的范圍；
（2）若
z
ω
是純虛數(shù)，a是正實數(shù)，①求a，②求
z
ω
+（
z
ω
）2+（
z
ω
）3+…+（
z
ω
）8．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x+
1
3x
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其圖象關于x=-1對稱，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*均在y=f（x）圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式，并求Sn的最小值；
（Ⅱ）數(shù)列{bn}，bn=
1
Sn
，{bn}的前n項和為 Tn，求證：
1
3
-
1
4n
＜Tn＜
3
4
-
1
n+3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U為實數(shù)集，設集合A={x|x2-4≤0}，B={x|x≤0}，A∩∁UB=（　�。�
A、[0，2]
B、（0，2]
C、（-∞，2]
D、[-2，0]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD、DA的中點，今將△DEF沿EF翻折，使點D轉(zhuǎn)移至點P處，且平面PEF⊥平面ABCEF
（1）若平面PAF∩平面PBC=l，求證：l∥BC；
（2）求直線BC與平面PAB所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將直線y=
1
3
x繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移1個單位，所得到的直線的方程為（　　）
A、y=-3x-3
B、y=-3x+3
C、y=-3x-1
D、y=3x-3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線L的傾斜角為60°，直線L過C的右焦點F2，且與C相交于A，B兩點（A，B可互換），若
AF2
=λ
F2B
，則λ的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=2cos2x+
3
sin2x+a（a∈R）在區(qū)間[0，
π
2
]上有最小值5，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程及在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

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