Question

若函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R）在區(qū)間[0，

π

2

]上有最小值5，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程及在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，先確定

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而有-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，故可得a=5．
（Ⅱ）由（1）得f（x）的解析式，根據(jù)其圖象和性質(zhì)從而確定對(duì)稱軸方程；先求出單調(diào)遞增區(qū)間，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，再根據(jù)已知x∈[0，π]分情況討論即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a
=1+2cos2x+

3

sin2x+a
=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1
因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
所以f（x）的最小值為a，由題意得a=5．
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

6

）+6
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，則x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，則kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
當(dāng)k=0，x∈[0，

π

6

]，當(dāng)k=1，x∈[

2π

3

，π]
所以函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．