Question

20．已知一個圓經(jīng)過A（3，3），B（2，4）兩點，且圓心C在直線$y=\frac{1}{2}x+2$上，
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=kx+2與圓C有兩個不同的交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心（2a，2+a），圓C半徑為r，則圓方程為（x-2a）²+（y-2-a）²=r²．再把點A（3，3），B（2，4）代入，求得a、r的值，可得圓C方程．
（2）由條件直線y=kx+2與圓C有兩個不同的交點，可得$\frac{|2k-3+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，由此求得k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓心（2a，2+a），圓C半徑為r，∴圓方程為（x-2a）²+（y-2-a）²=r²．
再把點A（3，3），B（2，4）代入可得（3-2a）²+（3-2-a）²=（2-2a）²+（4-2-a）²=r²，
∴a=1，r=1，
∴圓C方程為（x-2）²+（y-3）²=1．
（2）∵直線y=kx+2與圓C有兩個不同的交點，
∴$\frac{|2k-3+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，∴0＜k＜$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．