Question

11．下列命題中：
（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一確定，則0＜b≤4．
（2）若點（1，1）在圓x²+y²+mx-y+4=0外，則m的取值范圍是（-5，+∞）；
（3）若曲線$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示雙曲線，則k的取值范圍是（1，+∞]∪（-∞，-4]；
（4）將函數y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=cos2x的圖象．
（5）已知雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則過點P（1，1）可以作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，使點P是線段AB的中點．正確的是（2），（5）（填序號）

Answer 1

分析 由正弦定理求得sinB，舉例說明（1）錯誤；把點的坐標代入圓的方程說明（2）正確；由雙曲線的方程可得關于k的不等式，求得k值說明（3）錯誤；由函數圖形的平移可得（4）錯誤；利用點差法求出直線l的方程說明（5）正確．

解答 解：對于（1），由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得sinB=$\frac{a}sinA=\frac{4}×\frac{1}{2}=\frac{8}$．
當b=8時，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一確定，故（1）錯誤；
對于（2），點（1，1）在圓x²+y²+mx-y+4=0外，則1²+1²+m-1+4＞0，即m＞-5，故（2）正確；
對于（3），若曲線$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示雙曲線，則（4+k）（1-k）＜0，解得k＞1或k＜-4，
即k的取值范圍是（1，+∞）∪（-∞，-4），故（3）錯誤；
對于（4），將函數y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，
得到函數圖象的解析式為y=cos[2（x+$\frac{π}{3}$）$-\frac{π}{3}$]=cos（2x+$\frac{π}{3}$），故（4）錯誤；
對于（5），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${{x}_{1}}^{2}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，${{x}_{2}}^{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$，兩式作差得：
$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）=\frac{1}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）$，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，∴k_AB=2，此時直線方程為y-1=2（x-2），
即y=2x-3，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²-12x+11=0，△=144-88=56＞0，故（5）正確．
∴正確命題的序號是（2），（5）．
故答案為：（2），（5）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了三角形形狀的判定，考查雙曲線的簡單性質及直線與雙曲線的位置關系，屬中檔題．