Question

已知圓C與直線l：x+y-2=0和圓P：（x-6）²+（y-6）²=18均相切，求圓C的面積的最小值及此時(shí)圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：過點(diǎn)P（6，6）作直線OP垂直交l于O′點(diǎn)，求得O′P的方程，根據(jù)圓心C在OP上，設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-a）²=r²，再求得O′P和已知圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再把這兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)代入原C的方程，求出a和r² 的值，可得圓C的方程．

解答： 解：過點(diǎn)P（6，6）作直線OP垂直交l于O′點(diǎn)，則K_O′P=1，即O′P的方程為y-6=x-6，即x-y=0．
要使圓C的面積最小，則圓心C在OP上．
設(shè)C（a，a），則圓C的方程為（x-a）²+（y-a）²=r²，r為圓C的半徑．
由

x-y=0 x+y-2=0

求得

x=1 y=1

．
由

x-y=0 (x-6)2+(y-6)2=18

，求得

x=3 y=3

，或 

x=9 y=9

（舍去），
把點(diǎn)（1，1）、（3，3）代入（x-a）²+（y-a）²=r²，求得a=2，r²=2，
可得圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．