【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程;
(2)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若函數(shù)的極大值等于,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)
【解析】
(1)求得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),由此求得切線(xiàn)方程.
(2)通過(guò)求的二階導(dǎo)數(shù),研究其一階導(dǎo)數(shù),進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由此證得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).
(3)當(dāng)時(shí)根據(jù)(2)的結(jié)論證得結(jié)論成立.當(dāng),根據(jù)的二階導(dǎo)數(shù),對(duì)分成三種情況,利用的一階導(dǎo)數(shù),結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理,求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),,,,,所以在處的切線(xiàn)方程為.
(2),令,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,又,
所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減
所以,所以只有一個(gè)零點(diǎn).
(3)①當(dāng)時(shí),由(2)知,的極大值為,符合題意;
②當(dāng)時(shí),令,得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,注意到,
(。┊(dāng)時(shí),,又.
所以存在,使得,當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以的極大值為,符合題意;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞減,無(wú)極值,不合題意;
(ⅲ)當(dāng)時(shí),,又,令
,在上單調(diào)遞減,
所以,所以,
存在,使得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以的極大值為,且,不合題意.
綜上可知,的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),。
(Ⅰ)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,求的值;
(Ⅱ)若,問(wèn)函數(shù)有無(wú)極值點(diǎn)?若有,請(qǐng)求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極小值;
(2)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,不等式恒成立,求正整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線(xiàn)上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣.
②某地氣象局預(yù)報(bào):5月9日本地降水概率為,結(jié)果這天沒(méi)下雨,這表明天氣預(yù)報(bào)并不科學(xué).
③在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說(shuō)明模型的擬合效果越好.
④在回歸直線(xiàn)方程中,當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量增加0.1個(gè)單位.
A.①②B.③④C.①③D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿(mǎn)足:集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱(chēng)函數(shù)是等比源函數(shù).
()判斷下列函數(shù):①;②;③中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
()判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù),并證明你的結(jié)論.
()證明: , ,函數(shù)都是等比源函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)實(shí)數(shù),橢圓的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k的直線(xiàn)交D于P、Q兩點(diǎn),若線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為N,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)ON交直線(xiàn)于點(diǎn)M.
若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);
求證:;
求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn),這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期,某中學(xué)擬從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)為橢圓上三個(gè)動(dòng)點(diǎn),在第二象限,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且,判斷是否存在最小值,若存在,求出該最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于x的方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是函數(shù)的極大值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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