Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（x∈R）．
（1）證明直線l與圓C相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)直線l轉(zhuǎn)化為 直線系，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置故選即可判斷直線l與圓C相交；
（2）說(shuō)明直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，求出斜率即可求出直線的方程．
解答：解：（1）將l的方程整理為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由，解得，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)A（3，1）．
因?yàn)椋?-2）²+（1-2）²=5＜25，
∴點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，故直線l恒與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴直線l與圓C相交．
（2）圓心C（1，2），當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，
l⊥AC，
由k_AC=-，
得l的方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．