Question

7．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx，g（x）=xe^-x．
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若對任意x₁∈[1，3]，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用將次公式和兩角和的正弦公式將f（x）化簡得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，令2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$解出單調(diào)遞減期間；
（2）令g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos2x+1+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
當(dāng)$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
即$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]k∈Z$．
（Ⅱ）對任意${x_1}∈[1，3]，{x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$，要使不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，
只需g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值．
當(dāng)$x∈[{0\;，\frac{π}{2}}]$時(shí)，有 $2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}\;，\frac{7π}{6}}]$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時(shí)，$sin（2x+\frac{π}{6}）$有最大值1，f（x）有最大值3．
所以當(dāng)${x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，f（x₂）的最大值為3．
又由g（x）=x e^-x得   g′（x）=e^-x-x e^-x=（1-x） e^-x，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，g'（x）≤0．
∴g（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)，當(dāng)x₁∈[1，3]時(shí)，g（x₁）有最小值$g（3）=\frac{3}{{{{e}^3}}}$．
所以g（x₁）+a+3的最小值為$\frac{3}{{{{e}^3}}}+a+3$．
令$\frac{3}{{{{e}^3}}}+a+3$＞3得  $a＞-\frac{3}{{{{e}^3}}}$，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{3}{{{{e}^3}}}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)恒成立問題，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵．