Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

mx³-（2+

m

2

）x²+4x+1，g（x）=mx+5
（Ⅰ）當(dāng)m≥4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在m＜0，使得對任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．由于參數(shù)m決定了

4

m

與1的大小關(guān)系，從而決定導(dǎo)數(shù)的正負，因此必須進行分類討論，通過比較

4

m

與1的大小，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先假設(shè)存在，將對任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1轉(zhuǎn)化為f（x）_max-f（x）_min≤1，從而得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

mx3-(2+

m

2

)x2+4x+1，∴f′（x）=mx²-（4+m）x+4=（mx-4）（x-1）
1）若m＞4，則0＜

4

m

＜1，此時x∈(-∞，

4

m

)∪(1，+∞)都有f/(x)＞0，x∈(

4

m

，1)，
有f′（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

4

m

]和[[1，+∞）；
2）若m=4，則f′（x）=4（x-1）²≥0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)m＜0時，f/(x)=mx2-(4+m)x+4=m(x-

4

m

)(x-1)且

4

m

＜1
∴當(dāng)2≤x≤3時，都有f′（x）＜0
∴此時f（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，∴f(x)max=f(2)=

2

3

m+1
又g（x）=mx+5在[2，3]上單調(diào)遞減，∴g（x）_min=g（3）=3m+5
∴

2

3

m+1-3m-5≤1，解得m≥-

15

7

，又m＜0，
所以-

15

7

≤m＜0

點評：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵是解不等式，因此要研究不等式所對應(yīng)的方程根的大小，同時應(yīng)注意對參數(shù)的討論；研究是否存在問題，通常先假設(shè)存在，轉(zhuǎn)化為封閉性問題，對于任意性的恒成立問題，一般應(yīng)利用到函數(shù)的最值，而最值的確定又通常利用導(dǎo)數(shù)的方法解決．