Question

11．已知三棱錐O-ABC中，A，B，C三點(diǎn)均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的體積為$\frac{256π}{3}$，則三棱錐O-ABC的體積是$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知條件可求出AC，求出△ABC的面積，設(shè)球半徑為R，由球的體積可解得R，再設(shè)△ABC的外接圓的圓心為G，進(jìn)一步求出OG，則三棱錐O-ABC的體積可求．

解答 解：三棱錐O-ABC中，A，B，C三點(diǎn)均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，
則AC=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×1×sin120°=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)球半徑為R，由球的體積$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{256π}{3}$，解得R=4．
設(shè)△ABC的外接圓的圓心為G，
∴外接圓的半徑為GA=$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}=1$，
∴OG=$\sqrt{{R}^{2}-G{A}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-1}=\sqrt{15}$．
∴三棱錐O-ABC的體積是$V=\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•OG=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\sqrt{15}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的有關(guān)計(jì)算問題，考查棱錐的體積，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．