Question

3．一張半徑為4的圓形紙片的圓心為F₁，F(xiàn)₂是圓內一個定點，且F₁F₂=2，P是圓上一個動點，把紙片折疊使得F₂與P重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與半徑PF₁的交點為Q，當P在圓上運動時，則Q點的軌跡為曲線E，以F₁F₂所在直線x為軸，F(xiàn)₁F₂的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖．
（1）求曲線E的方程；
（2）曲線E與x軸的交點為A₁，A₂（A₁在A₂左側），與x軸不重合的動直線l過點F₂且與E交于M、N兩點（其中M在x軸上方），設直線A₁M、A₂N交于點T，求證：動點T恒在定直線l′上，并求l′的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：丨QF₁丨+丨QF₂丨=丨PF₁丨＞R＞丨F₁F₂丨，由橢圓的定義及性質，即可求得曲線E的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，利用直線的斜率公式，即可求得x_T，即可求得l′的方程．

解答 解：（1）由題意CD垂直平分PF₂，則丨QF₁丨+丨QF₂丨=丨QF₁丨+丨QP丨=丨PF₁丨＞R＞丨F₁F₂丨，
∴Q的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點，長軸長2a=4的橢圓，焦距2c=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴動點Q的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由A₁（-2，0），A₂（2，0），設直線l方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x_T，y_T），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
由M在x軸上方，y₁＞0＞y₂，
則y₁-y₂=$\sqrt{{（y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
則A₁M，A₂N的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x+2），
x_T=$\frac{\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}}{\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}}$=$\frac{2{y}_{1}（{x}_{2}-2）+2{y}_{2}（{x}_{1}+2）}{{y}_{2}（{x}_{1}+2）-{y}_{1}（{x}_{2}-2）}$=$\frac{2{y}_{1}（m{y}_{2}-1）+2{y}_{2}（m{y}_{1}+3）}{{y}_{2}（m{y}_{1}+3）-{y}_{1}（m{y}_{2}-1）}$=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}-2{y}_{1}+6{y}_{2}}{{y}_{1}+3{y}_{2}}$，
=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）-4（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）-（{y}_{1}-{y}_{2}）}$，
=$\frac{-\frac{48m}{3{m}^{2}+4}-\frac{48\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}}{-\frac{12m}{3{m}^{2}+4}-\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{{3m}^{2}+4}}$=4，
∴動點T恒在定直線l′上，直線l′的方程為：x=4

點評 本題考查橢圓的標準方程及橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，考查轉化思想，屬于中檔題．