Question

已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求

sin2x+2cos2x

1+tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）欲求sinx-cosx，由（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²+4sinxcosx 解得，
（2）欲求

sin2x+2cos2x

1+tanx

的值，利用二倍角公式及切化弦公式，將它們化成正弦、余弦的三角函數式來求．

解答：解：（1）把sinx+cosx=

1

5

兩邊平方得1+2sinxcosx=

1

25

，有sin2x=-

24

25

，
∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=

49

25

，
又-

π

2

＜x＜0，得sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=-

7

5

；
（2）由sinx+cosx=

1

5

與sinx-cosx=-

7

5

，得sin2x-cos2x=-

7

25

，
∴cos2x=cos2x-sin2x=

7

25

，
又由sinx+cosx=

1

5

與sinx-cosx=-

7

5

解得sinx=-

3

5

，cosx=

4

5

，有tanx=-

3

4

，
∴

sin2x+2cos2x

1+tanx

=

- 24 25 + 14 25

1+(- 3 4 )

=-

8

5

．

點評：借助于同角關系，可以合理地找出sinx+cosx與sinx-cosx，sinxcosx 之間的關系同時又能巧妙地與一元二次方程聯系起來，研究三角函數問題，必須對角的范圍加以注意．