Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+blnx（x＞0）在x=1處有極值

1

2

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

，得到f（1）=

1

2

，f′（1）=0得到a、b即可；
（2）找到函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax²+blnx，
所以f′(x)=2ax+

b

x

．…（2分）
又函數(shù)f（x）在x=1處有極值

1

2

，
所以

f′(1)=0 f(1)= 1 2 .

即

2a+b=0 a= 1 2 .

…（4分）
可得a=

1

2

，b=-1． …（5分）
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)f'（x）在x=1的左右符號(hào)相異，所以a=

1

2

，b=-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=

1

2

x2-lnx，其定義域是（0，+∞），
且f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

．…（8分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查推理能力，考查運(yùn)算能力，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．